La Desigualdad de Bell

A lo largo de los años, he escrito realmente mucho en es.ciencia.misc. En su mayoría no es más que basura, pero este artículo concreto fué muy bién recibido en su momento y fué alabado por algunos de mis contertulios (la mayoría más inteligentes que yo), lo que hace que me sienta especialmente orgulloso de él (y es que mi ego se conforma con poco).

La "Desigualdad de Bell" a la que hago alusión es, a grandes rasgos, una formula que demuestra que esas cosas tan extrañas que, según dicen, hace la mecánica cuántica, son realmente necesarias para describir el comportamiento de las partículas.

El experimento de Aspect, que es el otro "polo" del artículo, es el que demuestra que Bell (el "inventor" de la desigualdad), se cumple en la realidad, y está detallado un poco más en otro artículo.

Con esto que he dicho, si sigues leyendo, es bajo tu responsabilidad.

Grupo/s: es.ciencia.misc
Fecha: ?/08/1999
Título Original: Desigualdad de Bell (Era: Re: Indeterminismo)
Post original desaparecido
Antes de empezar con esto, unos pequeños comentarios respecto al
funcionamiento de la ciencia:

* Si quieres matar una teoría, mas vale que tengas otra mejor en el bolsillo.

* Si tienes una teoría que explica mejor los hechos, todo el mundo estará
encantado de abandonar la anterior.

* Para que una teoría sea mejor que otra, tiene que explicar mas cosas,
o explicar las mismas pero de forma mas simple.

Ya comenté que el tema de las variables ocultas es inadmisible porque
"multiplica entidades", pero además, resulta que las teorías de
variables  ocultas obtienen resultados distintos, en algunos casos,
que la física cuática. El primero que indicó esto fué un tipo del
C.E.R.N. llamado Bell.

Otros han demostrado posteriormente, por otros medios, que hay efectos
cuánticos que no se pueden demostrar con variables ocultas.

Dividiré, por mor de la claridad, este artículo en tres partes. En la
primera expondre la demostración mas simplificada y clara que he podido

concebir de la desigualdad de Bell. En la segunda parte indicaré lo que
ocurre al enfrentarla a los experimentos, y en la tercera las
consecuencias que se derivan de ello.

Por último, antes de meterme en faena, quiero comentar que, en mi opinión,
la física cuántica es realmente "antipática", no le puede gustar
a nadie que la comprenda. Impone ferreos límites a nuestro conocimiento y,
amenudo, se enfrenta a nuestro sentido común. Pero es lo que hay, responde
perfectamente a los experimentos y, pese a que muchos lo han intentado,
nadie ha podido diseñar un experimento que la contradiga.

Mamá naturaleza se ha empeñado en que nos comamos la sopa cuántica.

------ Parte 1: LA DESIGUALDAD DE BELL EN SIETE SIMPLES PASOS:

Suongamos que tenemos partículas a las que podemos medir tres propiedades
que llamaremos [a], [b] y [c]. estas propiedades pueden tomar dos valores,
que serán mayúscula o minúscula. de esta forma, definiremos una partícula
por sus propiedades de la forma:

(Valor-de-[a] Valor-de-[b] Valor-de-[c])

( Por ejemplo: (AbC) )

Medimos las propiedades de una serie de partículas y anotamos sus valores.

Si llamamos n(Valores) al número de partículas que tienen unos valores
determinados, podemos dar ya, con lo que hemos visto, la siguente fórmula (1):

(1): n(Ab)=n(Abc)+n(AbC)

O sea: Como una partícula solo puede tener o el valor c o el valor C, el
número total de partículas que tengan los valores A y b ser  igual a la
suma de las que tengan los valores Abc mas las que tengan los valores AbC.
(hasta aquí no es muy complicado)

Igual que con (1), se puede decir con cualquier par de valores, como por
ejemplo en (2):

(2): n(Ac)=n(Abc)+n(ABc)

Podemos deducir de (2) lo siguiente
(NOTA: el signo >= debe ser interpretado como "mayor o igual que",
y el signo <= como "menor o igual que"):

(3): n(Ac)>=n(Abc)

Esto es poco más que decir que el conjunto es mayor que la parte: El número
de partículas que tengan los valores (Ac) será mayor que el número de
partículas que tengan los valores (Abc), escepto en el caso de que no haya
partículas con el valor B, porque entonces Las partículas con los valores
(Ac) serían las mismas que las (Abc).

Del mismo modo podemos obtener, usando otros valores, la siguiente relacción:

(4): n(bC)>=n(AbC)

Ahora bien, sumando (3) y (4) obtenemos:

(5): n(Ac)+n(bC)>=n(Abc)+n(AbC)

Pero podemos sustituir la parte derecha de esta fórmula por lo que veíamos en (1):

(6): n(Ac)+n(bC)>=n(Ab)

A lo que, por pura cuestión de estética, le podemos dar la vuelta para dejarlo así:

(7): n(Ab)<=n(Ac)+n(bC)

Que resulta que es, salvo cuestiones de notación, la tan archifamosa y
antipática "Desigualdad de Bell".

Hasta aquí todo parece bastante normal: Por lo que hemos visto, el número de
partículas con los valores (Ab) tiene, necesariamente, que ser mayor o igual
que la suma de las partículas con los valores (Ac) y las partículas con
los valores (bC).

Escepto que alguien ponga en duda la validez de mis matemáticas, esto es
indiscutible.

Y, sin embargo, la fisica cuantica predice que, en ciertos casos, la
desigualdad de Bell será incumplida.

------ Parte 2: BELL SE ENFRENTA A LA CRUDA REALIDAD

Por si confías en mí y has decidido saltarte la parte anterior, repetiré
aquí la desigualdad de Bell tal como aparece en la fórmula (7):

n(Ab)<=n(Ac)+n(bC)

Ahora vamos a lo práctico:

¿Existen en la práctica experimentos que cumplan las características
arriba expuestas?

Pues, afortunadamente, si. (¿Creeis que me habria molestado en soltar el
royo anterior para nada?)

Pero la cosa no es tan simple:

Resulta que solo podemos medir una propiedad de cada partícula, solo
podemos medir [a], [b] o [c], y así no vamos a ninguna parte.

Pero la naturaleza nos ha regalado los llamados "Estados enredados", en
los que dos partículas, que parten en principio muy próximas entre si,
tienen algunas correlaciones interesantes:

1- Si medimos la misma propiedad en ambas partículas, SIEMPRE obtenemos
valores opuestos (Es decir, que si medimos [a] en ambas, si una tiene el
valor (A), la otra tendr  el valor (a), y lo mismo para [b] y [c].)

2- La correlación anterior se d  independientemente de la distancia que
exista entre las partículas en el momento de la medición.

3- Los valores de [a], [b] y [c] son independientes los unos de los otros.

De esta forma podemos obtener dos valores para cada partícula: Si en una
partícula del par medimos de la propiedad [a] y en la otra la propiedad [b],
como hemos comprobado experimentalmente, obtendremos los valores de [a] y
[b] para ambas partículas.

Pero como, a persar de todo, no podemos obtener los valores de [a], [b] y
[c] para todas las partículas, hemos de hacerlo estadisticamente. Para ello
lo que hacemos es decidir, aleatoriamente, que propiedad medimos en cada
partícula. Si medimos una población lo suficentemente grande de partículas,
los resultados de nuestra estadística deberían ser válidos, aplicables
al total de estas.

Visto todo esto hacemos el experimento, comprobamos los resultados y, para
nuestra sorpresa, incumplen la desigualdad de Bell. Pero sí cumplen
perfectamente lo que esperaba la fisica cuantica.

Repasamos el experimento y no le vemos ningún fallo, repasamos los cálculos
que hicimos para obtener la desigualdad de Bell y tampoco vemos error alguno.

------ Parte 3: CONSECUENCIAS DEL MALDITO EXPERIMENTO

¿Que ha pasado aqui? La implacable lógica de las matemáticas se contradice
con la innegable presencia de los resultados palpables. ¿Está mal hecho
el experimento? ¿Mienten las matemáticas?

Pero resulta que, desde el principio, habíamos partido de unos supuestos
"a priori" con los que no contábamos:

1- Las partículas tienen valores [a], [b] y [c] independientemente de si
los medimos o no, los valores de las propiedades no surgen expontaneamente
al hacer la medida, si no que, de algún modo, ya estaban ahí desde siempre.
Es decir, que una partícula puede ser, por ejemplo, (AbC), aunque yo no
mida las propiedades. Esto no parece una suposición muy arriesgada,
generalmente solemos suponer que una lechuga es verde aunque no la esté mirando
nadie.
Pero la física cuántica no respeta esto, se suele decir que "Los
experimentos no realizados no tienen resultados".

2- El límite de la velocidad de la luz es válido ( A esto se llama
"Localidad de Einstein" o simplemente "Localidad").
Preveo que este será el punto que m s ataques va a recibir.
Antes de que algunos se lancen como lobos a atacar a la pobre e indefensa C,
tengo que advertir que hacen falta muy buenas razones para ello:
La teoría de la relatividad se ha mostrado hasta ahora muy coherente
y está avalada por multitud de experimentos.

3- El método estadístico que hemos aplicado en el experimento también es
válido. Esta es otra suposición que puede parecer esquivable, pero fijémonos
en que este método no es mas que un caso "depurado" de inducción, y la
inducción es la base sobre la que se asienta todo nuestro conocimiento del
mundo (no solo el conocimiento científico).

Bueno, como hemos visto, la física cuántica no respeta el punto 1. Con
respecto al punto 2 guarda una posición un poco ambígua (muy poco
satisfactoria, esta vez sí), en la que el límite de C podría ser
violado, en ciertas condiciones, siempre que "no pudiera verse"
como lo hace. Y respeta el punto 3 (no tiene más remedio,
no es concebible la ciencia sin la inducción).

O sea, que si quieres una teoría que explique los resultados del
experimento, vas a tener que pelearte (y mucho) con los tres puntos de
arriba. Suerte.


------ Parte 4: ME DUELEN LOS DEDOS DE TANTO TECLEAR

Bueno, la cosa, después de todo, no era tan dificil (aunque sí muy
farragosa). He intentado simplificarlo al máximo (se ha quedado en 8.7
Kb.). Lo he repasado y creo que está bien. En cualquier caso no soy un
experto, puedo haberme equivocado en algo, así que aceptaré de buen
grado cualquier corrección, ampliación o comentarios que puedan surgir.

Nos leemos.

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