Simultaneidad y comunicación instantánea

En torno al 18/04/2000, andabamos en es.ciencia.misc liados con el tema de la relatividad de la simultaneidad, y sus efectos aparentemente paradójicos.

La cuestión era demostrar esta esta afirmación: "Si se pudiera superar la velocidad de la luz, se darían paradojas".

La cosa tenía su miga, y como no conseguía explicarme como dios manda, construí un pequeño documento en HTML, con dibujitos y todo, y lo colgué en binarios.

Y parece que la cosa quedó bastante bién, de modo que aquí va.

Grupo/s: es.binarios.misc
Fecha: 018/04/2000
Título Original: zip relatividad de es.ciencia.misc
Post original desaparecido

En propiedad, para los siguientes cálculos debería utilizar cuatro dimensiones (matemáticamente no hay ningún problema en usar todas las dimensiones que queramos) pero, para hacerlo todo más facil, usaré solo dos dimensiones, una espacial y otra temporal. Esto no afecta para nada al resultado, así que es un lujo que me puedo permitir sin perder por ello ni un ápice de "realismo".

La relatividad de la simultaneidad

Las fórmulas que nos permiten averiguar, dada la velocidad de un cuerpo, las coordenadas que tiene un punto según un obserador que use ese cuerpo como referencia, son conocidas por el nombre de Transformaciones de Lorentz. Estas transformaciones son las siguientes:

En las que:
x representa la coordenada espacial según nuestro sistema de referencia.
t representa la coordenada temporal según nuestro sistema de referencia.
x' representa la coordenada espacial según el sistema de referencia que, desde nuestro puto de vista, está en movimiento.
t' representa la coordenada temporal según el sistema de referencia que, desde nuestro puto de vista, está en movimiento.
C es la constante de la velocidad de la luz.

Para simplificar los cálculos, podemos utilizar, como unidades de medida, el segundo-luz para medir el espacio, y el segundo para medir el tiempo. De este modo C siempre es igual a 1, con lo que las fórmulas anteriores quedarían así:

Estas fórmulas son completamente equivalentes a las anteriores, pero nos permitirán operar con ellas de manera mucho más cómoda.

Pero, ¿Que demonios es eso de "Coordenada Espacial" y "Coordenada temporal"?

Muy simple, para representar un suceso, necesitamos saber el lugar donde ha ocurrido y el momento en que lo ha hecho. Podemos crear un sistema de coordenadas en el que un eje represente el espacio ( las x en las fórmulas anteriores), y otro represente el tiempo (las t). De este modo, un suceso que ocurra en la posición X en el momento T se escribiría como (X,T), y se representaría como:

La coordenada x se representa sobre el eje horizontal, y la coordenada t se mide sobre el verical. El eje espacial es positivo a la derecha y negativo a la izquierda. Los sucesos que tengan tiempo positivo se encuentran por encima del eje horizontal. Los sucesos que tengan un tiempo negativo, se encuentran debajo del eje horizontal. Todos los sucesos para los que t=0, se representan justo en el eje horizontal.
Los sucesos que se encuentren justo en donde se cortan los ejes son los que están ocurriendo aquí y ahora.

Dado que estamos usando la versión "simplificada" de las transformaciones de Lorentz, un suceso que ocurrirá dentro de dos segundos a un año luz de distancia, se representará a una unidad de distancia a la derecha y a dos unidades arriba.

Pero, ¿como representamos un cuerpo en movimiento?

La Relatividad Especial se ocupa de los cuerpos en movimiento rectilíneo y uniforme, esto es, aquellos que no están sufriendo aceleraciones. Un cuerpo en tal movimiento tiene una posición distinta en cada momento (si no, no estaría en movimiento, claro) Por tanto podemos representarlo como una recta, en la que cada punto representa una posición en un instante dado.

En este caso, la recta representa un cuerpo que se mueve, con respecto a nuestro sistema de referencia, a una velocidad de 1/2C (o sea, a la mitad de la velocidad de la luz). Por tanto, por cada unidad que avanza en el eje temporal, avanza la mitad en el eje espacial.

Ahora vamos a introducir un concepto nuevo, el Cono de Luz:

El Cono de Luz representa a todos aquellos puntos del espacio-tiempo que pueden ser afectados por un suceso. Es decir, aquellos a los que puede llegar un rayo de luz que se origine en ese suceso:

Un rayo de luz se desplaza a velocidad C. Por tanto, por cada unidad de tiempo avanza una unidad de espacio, con lo que cada rayo de luz forma un ángulo de 45º en nuestro gráfico. La trayetoria de cualquier cosa que se desplace a una velocidad inferior a C deberá estar dentro del cono de luz que, en nuestro gráfico, está representado por los dos rayos de luz que se desplazan en sentido positivo y negativo respectivamente.

Como se puede ver, hasta ahora todo lo que hemos visto funciona igual que en la física clásica. Concretamente, hemos visto que, para el observador en relativo reposo, son simultáneos todos los acontecimientos que tengan el mismo valor en el eje temporal (Parece evidente: son simultaneos todos los acontecimientos que ocurren al mismo tiempo). Esto, en nuestro gráfico, es lo mismo que decir que, para un punto cualquiera, son simultáneos todos aquellos que pertenecen a una recta que pase por él y que sea paralela a la horizontal. Pero ¿Cómo calculamos cuales son simultáneos desde el punto de vista del observador que se mueve respecto a nosotros?

Para él, son simultáneos todos los acontecimientos cuyo sea igual. Así que podemos hacer un poco de bricolaje con las fórmulas anteriores, para ver que nos sale. Supongamos que queremos ver todos los puntos de nuestro gráfico que, desde el punto de vista del observador en movimiento respecto a nosotros, son simultáneos a un instante dado (según su reloj) al que llamaremos K:

Serán, por tanto, simultáneos, todos aquellos puntos que cumplan que t´=K, que, en la fórmula anterior es:

Es decir, todos los puntos para los que, aplicando los valores de x y t correspondientes, la fórmula anterior sea correcta, serán simultáneos.
Llevándonos el numerador al lado derecho nos queda esta fórmula, que es la misma que la anterior.
Y, llevándonos también el producto vx resulta esta.

Teniendo en cuenta que tanto K como v son constantes, el producto también será constante, por lo que la última ecuación solo tiene dos variables, x e y. Además, sabemos que es la ecuación de una recta (No pienso explicar esto, tendrás que creerme o consultarlo por ahí, pero todas las ecuaciones de la forma y = ax + b , siendo a y b constantes, son rectas).

Concretamente, para K=0, la fórmula sería t = vx. Es decir, que todos los puntos de nuestra gráfica para los que se cumpla t = vx, serán simultáneos para el observador en movimiento en el punto t´=0. Para cualquier otro punto, serán simultáneos todos aquellos que estén contenidos en una recta que pase por él y sea paralela a esta línea t´=0.

Vemos, por tanto, que el concepto de simultaneidad varía según que observador tenga que juzgarlo.

Paradojas de la comunicacion instantánea

Ahora veamos el problema de la comunicación simultánea:

Een un instante cualquiera, el observador A, "en reposo"  (trayectoria azul) envía un mensaje instantáneo al observador B, "en movimiento" (trayectoria roja), que se aleja de él.
Dado que este mensaje es, desde su punto de vista, instantáneo, se transmite a trvés de una línea paralela a t=0.

El observador B envía el mensaje de retorno con su propio "emisor instantáneo", de modo que lo hace siguiendo una paralela a la línea t'=0 (O, lo que es lo mismo, t=vx.).

De este modo, como podemos ver en el gráfico, el mensaje llega de vuelta antes de haber sido enviado.

Bueno, espero haber aclarado esto por fín. Para cualquier cosa, nos vemos en las Ñus.

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